世界七大數(shù)學(xué)難題。解開一題獎勵100萬美元(2)
3、楊-米爾斯存在性和質(zhì)量缺口
量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前,楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn),量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系?;跅?米爾斯方程的預(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實:布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和駐波。盡管如此,他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴格的方程沒有已知的解。特別是,被大多數(shù)物理學(xué)家所確認、并且在他們的對于“夸克”的不可見性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè),從來沒有得到一個數(shù)學(xué)上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進根本上的新觀念。
4、龐加萊猜想
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶,那么我們可以既不扯斷它,也不讓它離開表面,使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面,如果我們想象同樣的橡皮帶以適當?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上,那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面,是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說,蘋果表面是“單連通的”,而輪胎面不是。大約在一百年以前,龐加萊已經(jīng)知道,二維球面本質(zhì)上可由單連通性來刻畫,他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應(yīng)問題。這個問題立即變得無比困難,從那時起,數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。
在2002年11月和2003年7月之間,俄羅斯的數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼在發(fā)表了三篇論文預(yù)印本,并聲稱證明了幾何化猜想。
在佩雷爾曼之后,先后有2組研究者發(fā)表論文補全佩雷爾曼給出的證明中缺少的細節(jié)。這包括密西根大學(xué)的布魯斯·克萊納和約翰·洛特;哥倫比亞大學(xué)的約翰·摩根和麻省理工學(xué)院的田剛。
2006年8月,第25屆國際數(shù)學(xué)家大會授予佩雷爾曼菲爾茲獎。數(shù)學(xué)界最終確認佩雷爾曼的證明解決了龐加萊猜想。
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