世界上已知的最大素?cái)?shù)
世界上已知的最大素?cái)?shù)
前不久,來(lái)自美國(guó)佛羅里達(dá)州的互聯(lián)網(wǎng)專家、數(shù)學(xué)愛(ài)好者帕特里克·拉羅什利用“互聯(lián)網(wǎng)梅森素?cái)?shù)大搜索”(GIMPS)項(xiàng)目,成功發(fā)現(xiàn)了第51個(gè)梅森素?cái)?shù);它是目前世界上已知的最大素?cái)?shù)——2^82589933-1,有24862048位數(shù)。如果用普通字號(hào)(指word文檔默認(rèn)的字體字號(hào))將這一巨數(shù)打印下來(lái),其長(zhǎng)度將超過(guò)100公里!
素?cái)?shù)又叫質(zhì)數(shù),是在大于1的自然數(shù)中只能被1和其自身整除的數(shù),如2、3、5、7、11等等。數(shù)論中,每個(gè)自然數(shù)都可以唯一地分解成有限個(gè)素?cái)?shù)的乘積,素?cái)?shù)因此構(gòu)成了自然數(shù)體系的基石。2300多年前,古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》一書中證明了素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè),并提出一些素?cái)?shù)可寫成“2^P-1”(即2的P次方減1,其中指數(shù)P也是素?cái)?shù))的形式,如2^2-1(=3)、2^3-1(=7)、2^5-1(=31)、2^7-1(=127)、2^13-1(=8191)等。
由于2^P-1型的素?cái)?shù)具有獨(dú)特?cái)?shù)學(xué)性質(zhì),千百年來(lái)許多著名數(shù)學(xué)家以及無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)它情有獨(dú)鐘。17 世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家馬林·梅森是他們中最杰出的探究者。由于他學(xué)識(shí)淵博、才華橫溢、為人熱情以及最早系統(tǒng)而深入地研究2^P-1型素?cái)?shù),為了紀(jì)念他,數(shù)學(xué)界將這種特殊形式的素?cái)?shù)命名為“梅森素?cái)?shù)”。迄今為止,人類僅發(fā)現(xiàn)51個(gè)梅森素?cái)?shù);這種素?cái)?shù)珍奇而迷人,因而被人們譽(yù)為“數(shù)學(xué)寶庫(kù)中的鉆石”。
梅森素?cái)?shù)貌似簡(jiǎn)單,但當(dāng)指數(shù)P值較大時(shí),其素性檢驗(yàn)的難度就會(huì)很大;此外,它的探究需要高深的理論和純熟的技巧,以及艱巨的計(jì)算。例如:1772年,瑞士數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家萊昂哈德·歐拉在雙目失明的情況下,靠心算證明了2^31-1(即2的31次方減1)是個(gè)素?cái)?shù);該數(shù)有10位(2147483647),堪稱當(dāng)時(shí)世界上已知的最大素?cái)?shù)。在“手算筆錄年代”,人們歷盡艱辛,一共才找到12個(gè)梅森素?cái)?shù)。
電子計(jì)算機(jī)的誕生,尤其是互聯(lián)網(wǎng)的出現(xiàn),大大加快了探究梅森素?cái)?shù)的步伐。1996年初,美國(guó)數(shù)學(xué)家、程序設(shè)計(jì)師喬治·沃特曼編制了一個(gè)梅森素?cái)?shù)計(jì)算程序,并把它放在網(wǎng)頁(yè)上供人們免費(fèi)使用。這一計(jì)算程序就是舉世聞名的GIMPS項(xiàng)目,也是全球首個(gè)基于互聯(lián)網(wǎng)的網(wǎng)格計(jì)算項(xiàng)目。網(wǎng)格計(jì)算就是通過(guò)利用大量異構(gòu)計(jì)算機(jī)的未用資源,為解決大規(guī)模的計(jì)算問(wèn)題提供一個(gè)新的模型。
現(xiàn)在只要人們?nèi)IMPS的主頁(yè)下載一個(gè)名為“Prime95”免費(fèi)程序,就可以立即參加GIMPS項(xiàng)目來(lái)搜尋梅森素?cái)?shù)了。目前,世界上有200多個(gè)國(guó)家和地區(qū)近25萬(wàn)在線網(wǎng)民參與GIMPS項(xiàng)目,并動(dòng)用了超過(guò)247萬(wàn)核的中央處理器(CPU)聯(lián)網(wǎng)來(lái)尋找新的梅森素?cái)?shù)??梢?jiàn),梅森素?cái)?shù)的探究非?;鸨贿@在數(shù)學(xué)史上前所未有,在科學(xué)史上也極為罕見(jiàn)。
特別值得一提的是,在梅森素?cái)?shù)的素性判斷方面,法國(guó)數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·魯卡斯和美國(guó)數(shù)學(xué)家德里克·雷默都做出了重要貢獻(xiàn);以他們命名的“魯卡斯-雷默方法”是目前已知的檢測(cè)梅森素?cái)?shù)素性的最佳方法。在梅森素?cái)?shù)分布研究方面,中國(guó)數(shù)學(xué)家、語(yǔ)言學(xué)家周海中在1992年給出了梅森素?cái)?shù)分布的精確表達(dá)式;這一研究成果被國(guó)際上命名為“周氏猜測(cè)”。
從古至今,幾乎所有的“最大素?cái)?shù)”都是梅森素?cái)?shù)。由于梅森素?cái)?shù)的探究在當(dāng)代需要多種學(xué)科和技術(shù)的支持,所以許多科學(xué)家認(rèn)為:梅森素?cái)?shù)的探究成果,在一定程度上反映了一個(gè)國(guó)家的科技水平。英國(guó)數(shù)學(xué)家馬科斯·索托伊甚至認(rèn)為:梅森素?cái)?shù)的探究可以挑戰(zhàn)人類科技與智慧極限,其成果是一個(gè)國(guó)家科技創(chuàng)新能力的重要標(biāo)志之一。因此,梅森素?cái)?shù)的探究還會(huì)繼續(xù)下去,直到永遠(yuǎn)。
文/曾浩(作者單位:瑞士蘇黎世大學(xué)理學(xué)院)
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